Disciplina detalhes

Detalhes do curso

Conhecimentos de Base Recomendados

Conhecimentos adquiridos até ao 12º ano de escolaridade.
Objetivos

Como objetivos desta disciplina podem referir-se a solidificação de alguns conhecimentos sobre números inteiros e análise combinatória adquiridos até ao 12º ano de escolaridade bem como a aprendizagem de um novo conjunto de ferramentas matemáticas utilizadas em outras disciplinas do curso. Estes conhecimentos destinam-se, designadamente, à compreensão de modelos matemáticos discretos muito comuns no estudo de variados sistemas tecnológicos e também no funcionamento de muitas organizações industriais e de serviços. Insistir-se-á no desenvolvimento do raciocínio lógico-dedutivo dos alunos, devendo, neste sentido, os conteúdos ser também encarados como um meio para se atingir este fim. O objetivo desta UC é o que os alunos adquiram e apliquem os conceitos descritos nos conteúdos programáticos e que podem ser subdivididos nos resultados de aprendizagem descritos em seguida.
No final da unidade curricular o estudante deve ser capaz de:
1. Contar elementos de um conjunto finito;
2. Usar o teorema binomial e o princípio de distribuição na resolução de problemas;
3. Usar o princípio de indução para provar propriedades dos números inteiros;
4. Identificar e aplicar o algoritmo de Euclides para resolução de equações lineares inteiras e na decomposição de um número em factores primos;
5. Operar com congruências e resolver congruência lineares;
6. Determinar restos inteiros através da aplicação do teorema chinês dos restos, do teorema de Euler e do teorema de Fermat;
7. Identificar e representar matricialmente grafos orientados e não orientados;
8. Aplicar diferentes técnicas de grafos na resolução dos seguintes problemas: problema do caminho mais curto, problema da determinação de árvores de custo mínimo e problema da coloração de grafos.
Métodos de Ensino

A UC Matemática Discreta tem uma carga de 4h/semana de aulas são teórico-práticas
Ensino presencial
As aulas presenciais terão duas componentes:
• Uma parte expositiva, onde são apresentados os conceitos fundamentais das diferentes rubricas do programa juntamente com a demonstração dos principais resultados, pretendendo-se deste modo que os alunos adquiram uma visão global dos temas abordados e suas interligações;
• Uma parte prática, onde os alunos aplicarão os conhecimentos adquiridos melhorando a sua compreensão das matérias lecionadas.

A UC terá toda a informação e materiais necessários centralizados na plataforma MOODLE. Os objetivos mínimos serão apresentados semanalmente, acompanhados com documentos que permitam que o aluno consiga atingir esses objetivos. Estes documentos consistirão em sebentas (são as sebentas da UC, que contêm todo o conteúdo programático), apresentações em PDF onde são expostos os conteúdos da semana, com variadíssimos exemplos e exercícios resolvidos, a que acresce folhas com exercícios adicionais resolvidos e exercícios para resolver. Sempre que necessário, também serão incluídas ferramentas online para complementar a exposição da matéria, nomeadamente vídeos Youtube, utilização de sites, como por exemplo Wolframalpha, etc.
Estágio(s)

Não
Programa

1. Combinatória
Cardinal de um conjunto finito, princípios básicos de contagem (adição e produto). Arranjos, permutações e combinações. Teorema binomial. Princípios da inclusão-exclusão e da distribuição.
2. Aritmética Racional
a. Aritmética dos Inteiros: axiomática dos inteiros, princípio de indução, divisão inteira, divisibilidade, máximo divisor comum, algoritmo de Euclides, números primos entre si, menor múltiplo comum, equação linear diofantina, números primos, teorema fundamental da aritmética, considerações computacionais.
b. Aritmética Modular: congruências e suas propriedades, resolução de congruências lineares; teorema chinês dos restos; teorema de Euler e (pequeno) teorema de Fermat.
3. Grafos
Conceitos básicos, caminhos e ciclos, conectividade; contagem do número de passeios, o problema do caminho mais curto. Noção de árvore, o problema da árvore de suporte de custo mínimo. Coloração de grafos.
Demonstração de conteúdos

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Demonstração da metodologia

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Docente(s) responsável(eis)

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Bibliografia

Carlos Luz; Sebenta de Matemática Discreta
N. L. Biggs; Discrete Mathematics, 2nd edition, Oxford University Press, 2008
Artur Brito da Cruz; Slides Teóricos
D. M. Cardoso, J. Szymański e M. Rostami; Matemática Discreta, Escolar editora, 2009
Artur Brito da Cruz; Slides dos Exercícios
R. L. Graham, D. E. Knuth e O. Parashnik; Concrete Mathematics, A Foundation for Computer Science, Addison-Wesley, Reading, MA, 1989
L. Lovász, J. Pelikán e K. Vesztergombi; Discrete Mathematics, Springer, 2009
S. Lipschutz, M. Lipson; Matemática Discreta, Colecção Schaum, 1987
K. H. Rosen; , Discrete Mathematics and Its Applications, 6ª edição, McGraw-Hill, 2007